Confluenţe Literare: FrontPage
CONFLUENŢE LITERARE

CONFLUENŢE LITERARE
ISSN 2359-7593
ISSN-L 2359-7593
BUCUREŞTI, ROMÂNIA


AFIŞARE MOBIL

CATALOG DE AUTORI

CĂUTARE ARTICOLE

Cautare Articole


ARHIVĂ EDIŢII

REDACŢIA

CLASAMENT
DE PROZĂ

CLASAMENT
SĂPTĂMÂNAL
DE PROZĂ


Home > Manuscris > Studii > Mobil |   


Autor: Emil Wagner         Publicat în: Ediţia nr. 2033 din 25 iulie 2016        Toate Articolele Autorului

Dreapta şi simetria (introducere în geometria afină)
 
 
 
 
Distribuie!
 
Distribuie!       Aboneaza-te!
Întrebare pusă radioului Erevan: Poate exista un pătrat infinit?  
Răspuns: De ce nu, dar fără colţuri!  
 
Euclid, părintele geometriei a definit practic două entităţi: dreapta şi cercul. Prima se construieşte cu rigla iar a doua cu compasul. Existând o riglă şi un compas putem defini şi construi toată geometria.  
Eu mă consider mai cu moţ! Afirm cu tărie că în lumea înconjurătoare nu există decât cercul cu raza sa. Culmea este că nu îl contrazic pe Euclid. Tot rigla şi compasul sunt uneltele cu care construiesc întreaga lume geometrică. Au fost necesari peste 2300 de ani şi mii de capete pătrate care, în orgoliul lor, au emis diferite păreri pro şi contra ca să pot abia astăzi să-mi susţin părerea că nu există drepte (şi nici dreptate) pe lumea aceasta ci numai curbe. Dacă nu o iei cu ocolişul nu ajungi niciodată.  
 
Intr-o precedent lucrare am demonstrat fără tăgadă că un pumn de fracţii poate substitui dubla infinitate dată de forma generalizată M/N a fracţiei ordinare. Similar în geometrie nu există decât o singură entitate din care derivă toate celelalte, nu două cum susţine Euclid, şi aceasta este o curbă închisă, de exemplu cercul (vom vedea că şi hiperbola sau dreapta însăşi poate fi o curbă închisă).  
Geometria afină, reunind segmentul de dreaptă cu câmpul vectorial şi admiţând infinitul mic drept invers al infinitului mare demonstrează că totul în geometrie se rezumă la o înşiruire de puncte după diferite reguli,iar acest şir poartă numele de curbă.  
 
Două puncte A şi B definesc o dreaptă care formează deoparte şi cealaltă a ei câte un semiplan. Dacă atribui dreapta formată unuia din cele două semiplane, al doilea semiplan de cine este limitat? Euclid ar fi răspuns „tot dreapta AB!”  
Pe de altă parte prin cele două puncte de mai sus se pot duce o infinitate de curbe având lungime din ce în ce mai mare în raport cu segmentul AB considerat drumul cel mai scurt între ele. Simpla introducere a noţiunii de infinit ne duce cu gândul la un nou tip de geometrie, geometria afină, în care dreapta nu este decât un cerc de rază infinită iar planul, limita universului, o sferă de rază infinită.  
Practic lucrăm astăzi cu două plane distincte. Planul euclidian E2 care este foaia de hârtie pe care construim figurile geometrice respectiv planul U (de la infinit) singurul plan având proprietăţile atribuite planului generic de imensă suprafaţă plană. Foaia de hârtie devine astfel o porţiune a planului U, cât de mare dorim.  
 
Diferenţa între planul E2 şi planul U este însă mult mai consistentă atingând noţiuni de mărimi complexe (având o parte imaginară). Dacă segmentul de dreaptă definit prin primul postulat euclidian are o singură dimensiune, lungimea, acelaşi segment de dreaptă studiat în geometria afină reprezintă o curbă şi închide în ea o infinitate bidimensională de puncte. Practic geometria afină defineşte segmentul de dreaptă euclidian drept o elipsă având al doilea diametru nul. Ceva similar este studiat în partea de matematică numită topologie.  
 
Conicele, respectiv cercul şi hiperbola aparţin unor planuri ortogonale între ele, deci diferite. Totuşi putem să reprezentăm hiperbola şi cercul pe acelaşi grafic prin rabatere, deoarece vârful celor două ramuri ale hiperbolei sunt comune cu cercul şi reprezintă un diametru al său.  
Este interesant că perceptele geometriei afine pot fi demonstrate în planul euclidian existând numai mici derive de la postulatele euclidiene.  
 
Fie date două puncte A şi B. Construim mediatoare M între ele. M este lacul geometric al tuturor punctelor egal depărtate de A şi B şi poate fi construită direct folosind această proprietate. Construim segmentul AB unind punctele printr-o linie. AB este perpendicular pe dreapta M potrivit definiţiei mediatoarei. Definim 3 puncte C1, C2 şi C3 pe M toate în acelaşi semiplan, in consecinţă de aceeaşi parte a dreptei AB. Construim apoi simetricele punctelor definite în raport cu AB. Se obţin punctele C1’, C2’ respectiv C3’. Considerând cele 6 punctele drept centre construim arcurile de cerc AB. Se obţin 3 perechi de curbe congruente dar de semn opus. Putem construi o infinitate de astfel de perechi congruente dar absolut toate au lungimea mai mică decât semicercul cu diametrul AB, fiind incluse în el.  
Arcurile pereche au lungime din ce în ce mai mică până ce ating valoarea limită care este lungimea AB când punctul centru Cx se află la infinit. In acest caz segmentul de dreaptă AB devine congruent dar diferit de segmentul de dreaptă BA. Este o proprietate a razei de cerc infinite care transformă cercul într-o dreaptă.  
 
Nu este necesar să demonstrăm că un râu are două maluri distincte, iar o stradă este limitată de două şiruri de imobile. Nu acelaşi lucru se poate spune despre sensul de parcurgere  
Sensul, respectiv şi semnul aferent lui, conferă entităţii studiate calităţile reversului acelei entităţi. De exemplu, pentru râul Prut sensul normal este cel al curgerii apei iar pe malul drept se află teritoriul României pe când pe cel stâng teritoriul Republicii Moldoveneşti, o altă ţară cu alte Legi şi cutume.  
Schimbarea semnului este echivalentă cu ceea ce în militărie ar fi „Stânga-împrejur şi înainte marş” întorcând la câmpul de instrucţie plutonul care se bucura de fasolea de la capul drumului spre cazarmă. Şi cam cu aceleaşi efecte. Dacă Prutul ar curge la deal sau pur şi simplu am vâsli contra curentului, România s-ar afla în stânga sa şi nu la dreapta cum arată hărţile geografice.  
 
Mă aflu în Eforie Sud şi mă plimb pe faleză de la vila Popovici spre cazinou. Am marea în stânga. Puţin după parcul cazinoului faleza se termină şi mă întorc, adică „stânga-împrejur şi înainte marş”. Îmi continui astfel plimbarea în sens negativ. Acum am marea la dreapta şi trec pe lângă cazinoul aflat la stânga ajunând la vila Popovici de unde am început plimbarea. Tot timpul am mers „tot înainte”, dar am avut alte privelişti funcţie de sensul parcurgerii drumului. Repet schimbarea de semn şi refac drumul dus-întors de mai multe ori. După o noapte de plimbare am mers peste 10 km pe faleză deşi aceasta are mai puţin de 1 km lungime totală. Ceva similar se întâmplă cu roata automobilului. Ea are puţin peste 1 metru lungimea circomferinţei şi totuşi parcurge distanţa Bucureşti Ploieşti fără dificultate. Simplu roata se învârteşte în acelaşi sens de mai multe ori închipuind un arc de cerc de lungime infinită.  
Aţi zice că cele două exemple nu sunt concludente deoarece fiecare dintre ele foloseşte o altă reprezentare. Liniară în cazul falezei respectiv polară în cazul roţii.  
 
Rulând un cerc pe o dreaptă diferitele puncte ale cercului ating succesiv dreapta provocând deplasarea. Un cerc are drept proiecţie pe un plan ortogonal un segment de dreaptă egal cu diametrul său. În geometria afină proiecţia unui cerc numită ramură are ca lungime jumătate din circumferinţa sa demonstrat prin cicloidă. Practic aştern pe o dreaptă, in continuare, două lungimi de semicerc, apoi repet la infinit Nu contează că, dacă primul semicerc este aşternut în sens crescător iar al doilea va fi aşternut în sens descrescător. În consecinţă o curbă închisă oarecare poate fi reprezentată de un segment de dreaptă. Interesant este că acest segment devin o dreaptă infinită putând nota cele două capete cu 0 (zero) şi X (în speţă X este echivalent cu infinitul al cărui cardinal este Alef Zero, deşi este numai lungimea finită unei ramuri). Dincolo de acest segment nu mai poate exista nici un punct al cercului. Dacă punctul zero poate fi punctul de plecare (vila Popovici din exemplul de mai sus), punctul X reprezintă sfârşitul falezei, ambele fiind puncte de schimbare de semn (stânga-împrejur şi înainte marş). Maşina merge spre Ploieşti dar, la fiecare jumătate a lungimii circumferinţei roţii, are loc o schimbare teoretică de semn parcurgând pendular cele doua ramuri ale cercului.  
Ipotezele dezvoltate cu exemplificare de mai sus lămuresc două mari probleme: Ce este dincolo de infinit respectiv Cât de mare poate fi infinitul.  
 
Răspunsul la aceste teme cruciale devine simplu:  
După infinit nu mai există nimic. Din punct de vedere matematic domeniul 0 .. X beneficiază de mărimi reale iar înainte de 0 sau dincolo de X de mărimi imaginare sau complexe. Consecinţa este că dincolo de universul nostru, o sferă cu diametru infinit, poate exista numai ceea ce imaginaţia noastră poate produce însă nimic palpabil. Totodată dacă interiorul unui domeniu închis, de exemplu un cerc, avem mărimi reale, în exteriorul său nu există decât mărimi imaginare sau complexe (având cel puţin o componentă imaginară).  
Noţiunea de infinit nu este legată de o mărime fizică Poate fi oricât de mare, respectiv oricât de mică. Porţiuni infinite pot fi găsite oriunde. Între două numere raţionale se poate afla o infinitate sau chiar mai multe, de fracţiuni. Dat fiind însă că punctele plus infinit şi minus infinit se suprapun fizic, noţiunea de semn algebric, oricum proprie numerelor naturale, nu mai face necesară precizarea ramurilor. Cu schimbarea de semn la fiecare trecere prin zero sau prin infinit putem ajunge liniar din oricare punct în oricare, atât în zona numerelor astronomice cât şi în aceea a mărimilor microscopice sau a fracţiunilor de unitate foarte apropiate de zero.  
Clasificarea făcută de matematicianul Georg Cantor, în special infinitul numărabil, a regulilor determinării cardinalului şi a potenţei nu suferă modificări.  
Reprezentarea liniară respectiv aceea polară devin astfel două feţe ale aceleiaşi monete.  
 
Graficele funcţiunilor întâlnesc mai multe tipuri de succesiune în turn a semnului. La trecerea prin zero schimbarea de semn marchează trecerea în alt sector topologic determinând astfel o rădăcină. Schimbarea de semn a primei derivate determină un vârf al graficului (maxim sau minim) iar cel al celei de a doua derivate un punct de inflexiune.  
Există şi puncte aşa zis de discontinuitate, exemplul clasic este saltul de la +infinit la -infinit al graficului tangentei de Pi/2 radiani. Exemplul este relativ deoarece în realitate nu există două puncte diferite reprezentând valorile funcţiunii. Da! Tangenta de Pi/2 este o fracţie cu numitor nul în vecinătatea unghiului Pi/2. Această fracţie are o valoare neînchipuit de mare, dar nu poate fi negativă. Semnul totuşi atribuit se referă la creşterea sau descreşterea valorilor următoare. Pentru unghi mai mic de Pi/2 valoare funcţiei creşte odată cu unghiul. La exact Pi/2 are un maxim după care funcţia descreşte cu creşterea în continuare a unghiului. Un exemplu similar este trecerea prin zero a numerelor întregi : l -10, …, -5, … -1, 0, 1 ,…, 5, …,10.  
Similar putem interpreta trecerea unei funcţii prin punctul X asimilat cu Alef Zero, respectiv cu infinitul, aşezând mulţimea numerelor naturale după infinit simetric cu acesta. La trecerea prin infinit ar arăta astfel:  
. 1000, …, 1milion, …, 1miliard, …, X, …, -1miliard, …, -1milion, … -100  
Este în fond clasica mişcare pendulară pe care geometria afină o recunoaşte în mânuirea numerelor şi a figurilor geometrice.  
 
Dacă punctul limită este numai un maxim ca oricare maxim urmat de schimbarea de semn toate curbele deschise, precum hiperbola se închid asemănător cercului. Nu există în realitate curbe deschise..  
Este tocmai premiza care stă la baza geometriei afine. La urma urmei putem ajunge din România la aeroportul Otopeni şi călcând prin New Yorc sau San Francisco.  
 
În algebră mărimile infinite sunt foarte mari respectiv foarte mici dar geometria afină recunoaşte infinitul prin trecerea de la mărimi reale la mărimi imaginare. Astfel orice curbă simbolizată printr-un cerc, conţine in interiorul ei mărimi reale iar în exteriorul ei mărimi imaginare. La hiperbolă graficul celor două ramuri defineşte zona reală, iar zona imaginară ocupă tot intervalul dintre cele două vârfuri. Prin rabatere această zonă poate cuprinde un cerc.  
 
În ultimele două secole geometria a fost direct atomizată. Tipuri noi de geometrie; euclidiană, eliptică, hiperbolică erc. se datorează mai mult orgoliilor. Nu Euclid a spus textual că printr-un punct se poate duce o singură paralelă la o dreaptă dată. Postulatul 5 este şi astăzi de neatacat constatând un adevăr incontestabil. De ce atunci pomposul nume de „geometrie ne-euclidiană”?  
Că geometria lui Euclid nu mai cuprinde astăzi întregul domeniu studiat de el este normal.  
De la „relativitatea lui Einstein” şi celebra sa formulă a energiei, multe ştiinţe au fost revoluţionar dezvoltate. Generalizarea şi interpătrundere diferitelor ramuri a dus la valoroase descoperiri şi rezolvări tehnice. Este normal ca şi în geometrie să apară noi interpretări. De ce conservatorismul feroce care combate tot ce este nou sau bagatelizează ca nesemnificativ şi particular câte un principiu care ar ajuta la dezvoltarea gândirii?  
 
Da! Există pluralitatea paralelelor prin acelaşi punct. Dar NU numai în geometria HIPERBOLICĂ (ce-o mai fi şi aia!) despre care normal că nimeni nu ştie nimic în afară că: Printr-un punct se pot duce mai multe paralele la o dreaptă dată (punct! De ce? Cum? Pentru ce? Dumnezeu cu mila dragi geometrii)  
 
În lumina „specialiştilor atotştiutori” geometria afină este doar o extindere a spaţiului vectorial peste geometrie, cu scopul unor soluţionări inginereşti. Înalta ştiinţă a geometrie nu este atinsă cu nimic. Aşa să fie oare? Este adevărat că ingineri au proiectat deplasarea omului pe lună sau au vizitare vecinătăţii planetelor şi nu geometri care ar fi trebuit să aibă ultimul cuvânt.  
 
Păcat!  
 
Referinţă Bibliografică:
Dreapta şi simetria (introducere în geometria afină) / Emil Wagner : Confluenţe Literare, ISSN 2359-7593, Ediţia nr. 2033, Anul VI, 25 iulie 2016, Bucureşti, România.

Drepturi de Autor: Copyright © 2016 Emil Wagner : Toate Drepturile Rezervate.
Utilizarea integrală sau parţială a articolului publicat este permisă numai cu acordul autorului.

Abonare la articolele scrise de Emil Wagner
Comentează pagina şi conţinutul ei:

Like-urile, distribuirile și comentariile tale pe Facebook, Google Plus, Linkedin, Pinterest și Disqus se consideră voturi contorizate prin care susții autorii îndrăgiți și promovezi creațiile valoroase din cuprinsul revistei. Îți mulțumim anticipat pentru această importantă contribuție la dezvoltarea publicației. Dacă doreşti să ne semnalezi anumite comentarii, te rugăm să ne trimiți pe adresa de e-mail confluente.ro@gmail.com sesizarea ta.
RECOMANDĂRI EDITORIALE

Publicaţia Confluenţe Literare se bazează pe contribuţia multor autori talentaţi din toate părţile lumii. Sistemul de publicare este prin intermediul conturilor de autor, emise ca urmare a unei evaluări în urma trimiterii unui profil de autor împreună cu mai multe materiale de referinţă sau primirii unei recomandări din partea unui autor existent. Este obligatorie prezentarea identității solicitantului, chiar și în cazul publicării sub pseudonim. Conturile inactive pe o durată mai mare de un an vor fi suspendate, dar vor putea fi din nou activate la cerere.

Responsabilitatea asupra conţinutului articolelor aparţine în întregime autorilor, punctele de vedere sau opiniile nefiind neapărat împărtăşite de către colectivul redacţional. Dacă sunt probleme de natură rasială, etnică sau similar, vă rugăm să ne semnalaţi imediat pentru remediere la adresa de corespondenţă mai jos menţionată. Articolele care vor fi contestate prin e-mail de către persoanele implicate prin subiectul lor vor fi retrase în timpul cel mai scurt de pe site.


E-mail: confluente.ro@gmail.com

Fondatori: Octavian Lupu şi George Roca

Consultaţi Catalogul autorilor pentru o listă completă a autorilor.
 
ABONARE LA EDIŢIA
ZILNICĂ


ABONARE LA EDIŢIA
SĂPTĂMÂNALĂ


ABONARE LA EDIŢIA
DE AUTOR



FLUX DE ARTICOLE AUTOR

 
 
CLASAMENT
DE POEZIE

CLASAMENT
SĂPTĂMÂNAL
DE POEZIE
 
VALIDARE DE PAGINĂ
 
Valid HTML 4.01 Transitional
 
CSS valid!