Confluenţe Literare: FrontPage
CONFLUENŢE LITERARE

CONFLUENŢE LITERARE
ISSN 2359-7593
ISSN-L 2359-7593
BUCUREŞTI, ROMÂNIA


AFIŞARE MOBIL

CATALOG DE AUTORI

CĂUTARE ARTICOLE

Cautare Articole


ARHIVĂ EDIŢII

REDACŢIA

CLASAMENT
DE PROZĂ

CLASAMENT
SĂPTĂMÂNAL
DE PROZĂ


Home > Manuscris > Cugetari > Mobil |   


Autor: Emil Wagner         Publicat în: Ediţia nr. 1631 din 19 iunie 2015        Toate Articolele Autorului

Din lumea fracţiilor
 
 
 
 
Distribuie!
 
Distribuie!       Aboneaza-te!
Spre deosebire de geografie, ştiinţa orientării pe globul terestre în special de pe mare, geometria este ştiinţa măsurării pe acelaşi glob terestru. Ambele sunt cunoscute de multe mii de ani. După reprezentarea la scară a hărţilor, geometria s-a separat de topografie evoluând în sensul măsurării figurilor aşa zis geometrice, de regulă plane, în care rigla şi compasul erau instrumentele de bază. Au apărut rapoarte între mărimile geometrice, precum cel dintre diagonala pătratului şi latura sa, astăzi cunoscut drept √2, sau dintre lungimea cercului şi diametrul său respectiv numărul Pi. Astfel rapoarte şi între două mărimi numerice au intrat în matematică sub numele de fracţii ordinare reprezentând o mai corectă apreciere a mărimilor mai mici decât unitatea. Sistemul de măsură englez este o mărturie a importanţei fracţionării unităţii pe când sistemul metric folosit în Europa foloseşte exclusiv reprezentarea zecimală (după virgula de care o desparte) a fracţiunilor de unitate.  
Fracţiunea de unitate, reprezentate integral pe segmentul între 0 şi 1 pe scala numerică devine o trecere palpabilă între finit şi infinit.  
Forma cea mai simplă a fracţiei ordinare
Fie un număr natural n ∈ N. Inversul acestuia 1/n reprezintă o fracţie ordinară subunitară care corespunde unei fracţiuni de unitate (jumătate, sfert, cincime etc.). Dar putem lua în considerare şi 3/4 (trei sferturi) respectiv 3/5 (trei cincimi) care nu sunt inversele unui număr natural ci derivă din ele. În general un număr oarecare n, inversat produce n-1 reprezentări în submulţimea fracţiunilor de unitate. Este oare mulţimea Q a fracţiilor ordinare cu mult mai mare decât mulţimea N a numerelor naturale?  
Pe de altă parte fie fracţia: a/b ∈ Q Ea are o inversă b/a . Fie dat a > b > 0 iar a prim faţă de b. În speţă a/b este o fracţie supraunitară iar inversa ei b/a este subunitară ambele nesimplificabile. Dar fracţia supraunitară conţine întregi care pot fi extraşi.  
a/b = k + (a-k*b)/b : 0< a - k*b  
Rezultă că oricărei fracţii supraunitare a/b îi corespund două fracţii subunitare, cu numitori diferiţi, una inversă b/a iar a doua (a-k*b)/b congruentă (rămasă după extragerea întregului k).  
O concluzie rezonabilă poate duce la constatare că totalitatea absolută a fracţiilor aduse la forma cea mai simplă (după simplificare şi extragerea întregilor) se rezumă la fracţii subunitare. În fond noţiunea de fracţie provine de la fracţiunile unităţii. Fracţiile ordinare supraunitare provin din adăugarea unei fracţiuni de unitate unui întreg. De exemplu:  
2,5 = 2 + 0,5 = 2 + 1/2 = 5/2  
Pe de altă parte submulţimea fracţiunilor de unitate pare cu mult mai mare decât întreaga mulţime a numerelor naturale deoarece nu cuprinde numai inversul numerelor naturale ci şi toţi multiplii subunitari ai acesteia cum am arătat mai sus iar orice fracţie supraunitară generează două fracţii ordinare subunitare. De exemplu din relaţia (2) fracţia ordinară 5/2 este de două ori reprezentată în mulţimea fracţiunilor de unitate. Prima, prin congruenta 1/2 ca adaos la un întreg iar a doua prin inversa ei 2/5, un multiplu al inversului numărului natural 5.  
O fracţie ordinară este în general definită in mulţimea care o cuprinde prin: Su = (m/n : m, n ∈ N, n >m >0)  
Mulţimea Z la care se face referire reprezintă mulţimea numerelor întregi (cu semn) şi este formată prin alipirea la stânga mulţimii N (numere naturale) a mulţimii vide (cifra 0) şi întreaga mulţime N în simetrie de oglindă drept ramură negativă. Din întreaga ramură pozitivă, reprezentativă pentru fracţiile ordinare, putem separa submulţimea fracţiilor subunitare Su definită astfel: Su = (m/n : m, n ∈ N, n >m >0)  
Ea cuprinde porţiunea 0 … 1 din ramura pozitivă infinită a mulţimii numerelor raţionale Q definită mai sus deoarece are numărătorul m < n limitat (mai mic decât numitorul n) şi nu include limitele 0 respectiv 1 (m = n). Respectând notaţiile m, n ∈ N, n >m >0 toate fracţiile m/n sunt subunitare. Fracţiile supraunitare se formează prin adăugarea unei fracţiuni de unitate, reprezentată de o fracţie subunitară, oricărei număr natural. Teoretic Q include între toţi întregii submulţime Su în integralitatea ei.  
În rezumat: definesc o fracţie ordinară adusă la cea mai simplă formă o fracţie subunitară în care numărătorul m este prim în raport cu numitorul n. Ea reprezintă o fracţiune oarecare dintr-un întreg. Această fracţie poate fi adusă sub orice formă, incluzând şi forma supraunitară, prin includerea în fracţie a numărului natural căruia i-a fost ataşată fracţiunea. Amplificarea nu modifică calitatea de a fi sau nu subunitară.  
Notă: Dacă numărătorul şi numitorul unei fracţii oarecare au un factor comun se procedează la aşa numita simplificare prin care se elimină numitorul comun spre a aduce fracţia la cea mai simplă formă în care numărătorul este prim faţă de numitor.  
Se pot efectua operaţiuni aritmetice numai cu fracţiile care au acelaşi numitor. Spre a ilustra această propoziţie consideraţi că toate numerele naturale sunt fracţii ordinare cu numitorul 1 (unu). La fel se execută toate operaţiile aritmetice şi dacă numitorul este 16 sau 64 (vezi metrica engleză)  
Amplificarea fracţiilor şi semnificaţia ei.
O fracţie ordinară compusă din doi întregi oarecare, reprezintă în fapt câtul neefectuat al împărţirii numărătorului la numitor. Prin doi întregi se poate astfel exprima şi un număr zecimal a cărui valoare exactă nici nu se poate preciza datorită infinităţii de zecimale periodice sau arbitrar repartizate în cât. Exemplu 1/3 = 0.33333 … 3333 la infinit, sau 5/33 = 0,15151515…1515 etc.  
O împărţire neefectuată nu trebuie neapărat prezentată cu o linie de fracţie. Nu întâmplător am prezentat fracţiile ordinare 1/3 respectiv 5/33 sub forma obişnuită a unei împărţiri. Diferiţi autori prezintă fracţiile ordinare prin diferite forme, de regulă folosite şi pentru exprimarea împărţirilor. Am întâlnit următoarele forme: a/b , a:b , a/b , a\b, (a,b) şi altele. Din seria prezentată, ultima adică (a,b) folosită atât pentru fracţii cât, şi în special, pentru reprezentarea unui punct în algebra carteziană pare mai semnificativă.  
Un punct oarecare în plan poate fi reprezentat prin două coordonate. O abscisă X şi o ordonată Y sub forma (X,Y). Totodată, în reprezentarea polară, raportul Y/X reprezintă tangenta unghiului de înclinare al dreptei care uneşte originea (0,0) cu punctul considerat (X,Y). Notaţia (a,b) poate fi şi este efectiv o fracţie ordinară deoarece deşi reprezintă un punct în algebra carteziană reprezintă concomitent câtul unei împărţiri respectiv tangenta unui unghi.  
Să amplificăm acum fracţia ordinară (X,Y) cu 2. Va rezulta (2X,2Y). Reprezentând noul punct în planul cartezian vom obţine pentru punctul (2X,2Y) o reprezentare distinctă de (X,Y). Dar originea (0,0), punctul (X,Y) şi punctul (2X,2Y) sunt coliniare deoarece unghiul de înclinare este egal având tangenta egală (datorită posibilităţii de simplificare). In consecinţă toate punctele reprezentate prin amplificarea unei fracţii sunt situate pe una şi aceeaşi dreaptă care trece prin origine. Este un caz tipic de geometrie afină (înrudită).  
Indiferent că fracţia este sub- sau supra-unitară, reprezentarea ei între paranteze reprezintă un punct în plan şi totodată tangenta trigonometrică a unei drepte care trece prin origine. Ştim din geometrie că într-un plan se poate duce o infinitate numărabilă de drepte care trec printr-un punct dat, în speţă originea. Rezultă inerent că totalitatea absolută a fracţiilor scrise prin doi întregi, de ce nu chiar prin două numere reale, chiar imaginar complex conjugate, rămâne numărabilă. Este o extindere a demonstraţiei destul de dificilă făcută de matematicianul Georg Cantor, prin criteriul diagonal, cu care a dovedit că mulţimea numerelor raţionale are aceeaşi potenţă ca şi mulţimea numerelor naturale, adică este numărabilă. În fond fracţia stă pentru câtul unei împărţiri indiferent de forma şi natura numerelor care se împart.  
Reducerea la scară
Ştiai că întregul apartament în care locuieşti poate încap într-o foaie de hârtie cu mobilă cu tot? Şi chiar întreaga ţară cu munţii ei, râurile şi drumurile sale poate fi agăţată în cui ca să o admiri din când în când? Acestea sunt datorită unei fracţii, de fapt a unui numitor comun. Un metru poate deveni într-un plan ce construcţii 1 cm, uneori 1 mm. În cazul hârţilor 1 km devine 1 mm.  
Este vorba de reducere la scară în care toate mărimile fizice reale sunt reprezentate micşorat cu un coeficient, de fapt numitorul unei fracţii.  
Nu aş aminti de o entitate, particularitatea comună ca aerul de respirat pe care-l poluăm ignorând-ul cu desăvârşire dacă nu ar avea o mare importanţă. Iar reducerea la scară devine importantă când foarte mari entităţi sunt obligate a ocupa spaţii infime.  
Am amintit mai pe la început de inversele fracţiilor ordinare şi am apreciat că orice număr natural poate fi exprimat printr-o fracţie cu numitor unitar. În consecinţă şi un număr natural poate fi inversat ca oricare fracţie. N devine prin inversare 1/N sau dacă vreţi (1,N). Doar că numărul N poate fi oriunde pe axa numerelor naturale pe când 1/N a fost înghesuit în zona subunitară a mulţimii numerelor raţionale care se află în minusculul interval între 0 şi 1 pe axa numerică. Şi la ce serveşte această constatare?  
Da, precum putem înghesui o ţară întreagă pe o mică hartă, prin reducere la scară, putem înghesui o întreagă infinitate de numere naturale într-un mic segment, nu mai mare decât unitatea. Numărăm curent: unu, doi, trei. Dar între unu şi doi se află 8/3, 81/33 şi o întreagă infinitate de numere care satisfac relaţia 2  
 
Intre fracţie şi fracţiune.  
 
 
Ştim ce este fracţia ordinară, o mărime abstractă. Să încercăm a aflăm ce este o fracţiune. De regulă un component abstract sau palpabil al unităţii. De exemplu roata este o parte a bicicletei care mai poate avea altele precum ghidon, cadru sau lanţ. Dacă ai o roată mai trebuie doar încă trei şi un bou ca să ai imaginea pictată de Grigorescu. Roata este deci o fracţiune dintr-o bicicletă sau un car. Celula este o fracţiune din om, mână sau ficat. Este cert că celula este o fracţiune de om dar nu putem, încă, număra câte celule are omul. Spunem deci că omul este compus dintr-o infinitate de celule. Roata sau celula este un numitor de fracţie. Numărătorul este 2 pentru bicicletă, 4 pentru car şi respectiv ∞ pentru om. In consecinţă există o relaţie între componenta unui întreg şi întregul însuşi. Lumea fracţiilor începe să miroase a filozofie. Şi chiar este.  
 
Un banc matematic: „Printr-un punct în plan se pot duce două paralele la o dreaptă dată şi o infinitate de drepte neconcurente.” Nu pretind paternitatea acestui banc. El a fost concomitent spus de doi matematicieni respectiv Janos Bolyai un transilvănean din Tg. Mureş şi Nikolai Ivanovici Lobacevski din Kazan, Rusia pe la sfârşitul secolului 18.  
 
Deşi constatare ştiinţifică dovedită, recunoscută de o mică parte din matematicieni, majoritatea lor îl consideră banc deoarece şi un elev de-a patra învaţă de mai mult de 2300 ani că printr-un punct se poate duce o singură paralelă.  
 
Şi ce are bancul cu fracţiile? Păi are! Mai mult cu reducerea la scară. Infinitul, cât este el de mare, poate fi desenat proporţional chiar şi pe un bilet de tramvai. Un simplu cerc este suficient spre a demonstra valoroasa constatare a unui compatriotului nostru onorat de tot Ardeal-ul. Dacă doriţi amănunte citiţi referatul  
 
http://www.referat.ro/referate/Postulatul_V_al_lui_Euclid_f1361.html  
 
 
 
 
Referinţă Bibliografică:
Din lumea fracţiilor / Emil Wagner : Confluenţe Literare, ISSN 2359-7593, Ediţia nr. 1631, Anul V, 19 iunie 2015, Bucureşti, România.

Drepturi de Autor: Copyright © 2015 Emil Wagner : Toate Drepturile Rezervate.
Utilizarea integrală sau parţială a articolului publicat este permisă numai cu acordul autorului.

Abonare la articolele scrise de Emil Wagner
Comentează pagina şi conţinutul ei:

Like-urile, distribuirile și comentariile tale pe Facebook, Google Plus, Linkedin, Pinterest și Disqus se consideră voturi contorizate prin care susții autorii îndrăgiți și promovezi creațiile valoroase din cuprinsul revistei. Îți mulțumim anticipat pentru această importantă contribuție la dezvoltarea publicației. Dacă doreşti să ne semnalezi anumite comentarii, te rugăm să ne trimiți pe adresa de e-mail confluente.ro@gmail.com sesizarea ta.
RECOMANDĂRI EDITORIALE

Publicaţia Confluenţe Literare se bazează pe contribuţia multor autori talentaţi din toate părţile lumii. Sistemul de publicare este prin intermediul conturilor de autor, emise ca urmare a unei evaluări în urma trimiterii unui profil de autor împreună cu mai multe materiale de referinţă sau primirii unei recomandări din partea unui autor existent. Este obligatorie prezentarea identității solicitantului, chiar și în cazul publicării sub pseudonim. Conturile inactive pe o durată mai mare de un an vor fi suspendate, dar vor putea fi din nou activate la cerere.

Responsabilitatea asupra conţinutului articolelor aparţine în întregime autorilor, punctele de vedere sau opiniile nefiind neapărat împărtăşite de către colectivul redacţional. Dacă sunt probleme de natură rasială, etnică sau similar, vă rugăm să ne semnalaţi imediat pentru remediere la adresa de corespondenţă mai jos menţionată. Articolele care vor fi contestate prin e-mail de către persoanele implicate prin subiectul lor vor fi retrase în timpul cel mai scurt de pe site.


E-mail: confluente.ro@gmail.com

Fondatori: Octavian Lupu şi George Roca

Consultaţi Catalogul autorilor pentru o listă completă a autorilor.
 
ABONARE LA EDIŢIA
ZILNICĂ


ABONARE LA EDIŢIA
SĂPTĂMÂNALĂ


ABONARE LA EDIŢIA
DE AUTOR



FLUX DE ARTICOLE AUTOR

 
 
CLASAMENT
DE POEZIE

CLASAMENT
SĂPTĂMÂNAL
DE POEZIE
 
VALIDARE DE PAGINĂ
 
Valid HTML 4.01 Transitional
 
CSS valid!