Confluenţe Literare: FrontPage
CONFLUENŢE LITERARE

CONFLUENŢE LITERARE
ISSN 2359-7593
ISSN-L 2359-7593
BUCUREŞTI, ROMÂNIA


AFIŞARE MOBIL

CATALOG DE AUTORI

CĂUTARE ARTICOLE

Cautare Articole


ARHIVĂ EDIŢII

REDACŢIA

CLASAMENT
DE PROZĂ

CLASAMENT
SĂPTĂMÂNAL
DE PROZĂ


Home > Orizont > Meditatie > Mobil |   


Autor: Emil Wagner         Publicat în: Ediţia nr. 1484 din 23 ianuarie 2015        Toate Articolele Autorului

Un infinit mai mare sau mai mic
 
 
 
 
Distribuie!
 
Distribuie!       Aboneaza-te!
Infinitul! O noţiune greu de definit. 
  
În general ne referim la un infinit mare, adică una sau mai multe mărimi mai mari decât ori ce mărime pe care ne-o putem închipui. Există şi un infinit mic, deci o mărime mai mică decât ori ce mărime mică pe care ne-o putem închipui. Cele două noţiuni, infinitul mare şi cel mic, sunt strâns legate între ele, iar studierea lor paralelă ar duce la o mai uşoară înţelegere a matematicii. Sistemul şcolar preuniversitar nu include entitatea infinit mic. In mod curios, majoritatea profesorilor de matematică nici nu cunosc, sau nu-şi mai amintesc, despre această entitate, poate necesară înţelegerii nu numai a capitolului analiză matematică (diferenţială). În ultimele clase liceale se învaţă despre diferenţiale fără a specifica esenţa ei de infinit mic. Rar se lucrează cu simbolul infinitului mare ∞ dar cu dx, ∂x care sunt infiniţi mici se lucrează curent. 
  
Dar nu-i aci problema care a generat titlul disertaţiei. 
  
Infinitul mare este studiat asociat unui termen, cardinalitatea, reprezentând numărul de membrii ale unei mulţimi care tinde spre infinit. Mulţimea numerelor naturale în integritatea ei are, teoretic, o limită. Cel mai mare număr pe care ni-l putem închipui, notat de antici simbolul א (alef, prima literă a alfabetului Ebraic). Mulţimea numerelor naturale, conţinând toate numerele de la 1 la א0 are א0 membri şi este numărabilă căci în succesiune normală putem număra membru cu membru pe toată întinderea sa. 
  
George Cantor studiind teoria numerelor, a avut iniţiativa de a compara mulţimile termen cu termen, după o asociere a lor. Spre exemplu comparăm 2 mulţimi şi anume: 
  
(1,2,3, …, א) cu (10*1,10*2,10*3, …, 10* א) 
  
cu alte cuvinte comparăm mulţimea numerelor naturale cu alta, în care fiecare membru al noii mulţimi este de 10 ori mai mare decât al primeai. Este evident că cele două mulţimi au acelaşi număr de termeni deci ambele au aceeaşi cardinalitate. Totuşi par discutabili ultimii membrii ai celei de a doua mulţimi. Există sau nu există numere mai mari ca א? 
  
Cantor a stabilit că cele 2 mulţimi de mai sus au cardinalitate egală, deşi a doua este o submulţime a primeai. Este şi normal deoarece primul termen din a doua mulţime este egal cu al 10-celea din prima, al doilea cu al 20-celea şi aşa mai departe. Cu alte cuvinte există numere mai mari decât cel mai mare pe care ni-l putem închipui. La urma urmei şi 10* אeste un număr mai mare decât cel mai mare închipuibil, respectând definirea. 
  
Nu acelaşi lucru dacă drept factor multiplicator alegem un număr foarte, foarte mare în locul lui 10. De exemplu chiar א 
  
O asemenea mulţime ar avea forma: 
  
(א * 1, א * 2, א * 3, … , א * א ) 
  
Cardinalitatea acestei noi mulţimi, deci numărul ei de termeni, este aceeaşi cu cardinalitatea mulţimii numerelor naturale. Cu termenii ei este însă o diferenţă esenţială. Comparată cu mulţimea numerelor naturale, primul termen din noua mulţime este egală cu ultimul termen al mulţimii N. Drept consecinţă ar fi o prelungire a mulţimii N cu un singur termen intersectat şi nicidecum o submulţime a ei. 
  
O contrazicere? Nicidecum. Produsul a două numere mari creşte foarte repede spre infinit. 
  
Dacă X este o variabilă monoton crescătoare spre infinit relaţia iar k o constantă finită: 
  
F(x)=k*x x∈ (N) x  ∞ 
  
Limita lui F(x) rămâne un infinit numărabil însă condiţionat. Cât timp k se află în domeniul strict numărabil deci k << א0 oricât creşte x, se rămâne într-un infinit aşa zis numărabil, la fel cu limita mulţimii N. Dacă constanta k creşte, limita funcţiei devine un infinit nenumărabil, similar cu limita mulţimii R. Cardinalitatea acestui infinit este mai mare decât א fiind în general numită de puterea continuului. 
  
Exemplul cel mai simplu ar fi: 
  
F(x)=x2 x (N) x  ∞ 
  
La limită avem un infinit de infinite. 
  
Avem astfel în faţă un infinit mai mare decât infinitul. Pare un paradox, dar este o realitate demonstrată. Puterile lui x dau în fiecare caz un infinit de potenţă mai mare, toate intrând în denumirea generală de infinit nenumărabil sau de puterea continuului. 
  
Diferenţa între 2 infinit-uri de puteri succesive este atât de mare încât ori ce termen infinit inferior poate fi neglijat faţă de infinitul imediat superior. Cu atât mai mult faţă de un infinit în general de cardinalitate mai mare. 
  
Consecinţa: un polinom în care variabila independentă tinde spre infinit poate fi înlocuit la limită cu primul său termen (puterea cea mai mare a lui x) care-l reprezintă integral, toţi ceilalţi termeni fiind matematic neglijabili. Se poate demonstra simplu dând factor comun forţat puterea cea mai mare a variabilei, eventual simplificând cu ea în cazul unei fracţii. Majorotatea termenilor devin nuli datorită puterii negative. 
  
Dar poate există oare un nimic, mai mic decât nimic? Nu, nu ne jucăm cu vorbe. Infinitul mic este o entitate numerică care tinde spre 0. Infinitul, în speţă şi infinitul mic, sunt limite care teoretic nu se pot atinge niciodată. Prin 0 matematicienii înţeleg o mulţime vidă. Similitudinea este perfectă în asemănare cu vidul fizic. Un vid fizic (spaţiu lipsit de ori ce moleculă sau entităţi mai mici ca ea) nu se poate obţine nici o dată. 
  
Zero poate fi depăşit, în ori ce direcţie dar nu poate fi atins din nici o parte (mă refer bineînţeles la ramurile pozitivă şi negativă despărţite de 0). Este problema lui Achile cel iute de picior care nu poate ajunge din urmă o broască ţestoasă căreia i-a acordat o bonificaţie, dar o poate depăşi. 
  
Zero fiind similar cu nimic există deci şi un nimic mai nimic decât nimic la fel cum există şi un infinit mai infinit decât infinitul. 
  
De fapt infinitul mic este inversul matematic al infinitului mare, şi are tot atâtea ordine de mărime. Potrivit celor judecate pentru infinitul mare, un polinom în care variabila tinde spre 0 poate fi înlocuit cu termenul său liber, singurul care nu este înmulţit , la limită, cu zero. Regula lui l'Hôpital pentru ridicarea unor nedeterminări devine astfel dese ori inutilă. 
  
Sintagma infinit mic este, în ţara noastră, puţin sau deloc utilizată. Cu toate acestea în liceu se predă depre diferenţe şi diferenţiale fără a preciza că dx, dy sunt infiniţi mici. 
  
Curios dar problema numerelor foarte mari sau foarte mici nu se pune la numerele însăşi ci la exprimarea lor într-o funcţiune oarecare. Pot uşor să măsor în microni distanţa astronomică până la Adelbaran de exemplu, pot relativ uşor să determin diametrul unui atom sau chiar electron, mă descurc uşor cu  sau e (baza logaritmilor naturali) deşi au o infinitate de zecimale. Dar ridicarea unei nedeterminări creată de apropierea unei funcţiuni de 0 sau infinit nu este de multe ori o joacă. 
  
Referinţă Bibliografică:
Un infinit mai mare sau mai mic / Emil Wagner : Confluenţe Literare, ISSN 2359-7593, Ediţia nr. 1484, Anul V, 23 ianuarie 2015, Bucureşti, România.

Drepturi de Autor: Copyright © 2015 Emil Wagner : Toate Drepturile Rezervate.
Utilizarea integrală sau parţială a articolului publicat este permisă numai cu acordul autorului.

Abonare la articolele scrise de Emil Wagner
Comentează pagina şi conţinutul ei:

Like-urile, distribuirile și comentariile tale pe Facebook, Google Plus, Linkedin, Pinterest și Disqus se consideră voturi contorizate prin care susții autorii îndrăgiți și promovezi creațiile valoroase din cuprinsul revistei. Îți mulțumim anticipat pentru această importantă contribuție la dezvoltarea publicației. Dacă doreşti să ne semnalezi anumite comentarii, te rugăm să ne trimiți pe adresa de e-mail confluente.ro@gmail.com sesizarea ta.
RECOMANDĂRI EDITORIALE

Publicaţia Confluenţe Literare se bazează pe contribuţia multor autori talentaţi din toate părţile lumii. Sistemul de publicare este prin intermediul conturilor de autor, emise ca urmare a unei evaluări în urma trimiterii unui profil de autor împreună cu mai multe materiale de referinţă sau primirii unei recomandări din partea unui autor existent. Este obligatorie prezentarea identității solicitantului, chiar și în cazul publicării sub pseudonim. Conturile inactive pe o durată mai mare de un an vor fi suspendate, dar vor putea fi din nou activate la cerere.

Responsabilitatea asupra conţinutului articolelor aparţine în întregime autorilor, punctele de vedere sau opiniile nefiind neapărat împărtăşite de către colectivul redacţional. Dacă sunt probleme de natură rasială, etnică sau similar, vă rugăm să ne semnalaţi imediat pentru remediere la adresa de corespondenţă mai jos menţionată. Articolele care vor fi contestate prin e-mail de către persoanele implicate prin subiectul lor vor fi retrase în timpul cel mai scurt de pe site.


E-mail: confluente.ro@gmail.com

Fondatori: Octavian Lupu şi George Roca

Consultaţi Catalogul autorilor pentru o listă completă a autorilor.
 
ABONARE LA EDIŢIA
ZILNICĂ


ABONARE LA EDIŢIA
SĂPTĂMÂNALĂ


ABONARE LA EDIŢIA
DE AUTOR



FLUX DE ARTICOLE AUTOR

 
 
CLASAMENT
DE POEZIE

CLASAMENT
SĂPTĂMÂNAL
DE POEZIE
 
VALIDARE DE PAGINĂ
 
Valid HTML 4.01 Transitional
 
CSS valid!